え、10重ループくらい10秒でかけますよね？これってゴリ押し解法なんですか？

これを

#define extrep(v,...) for(auto v:make_mat_impl({__VA_ARGS__}))
vector<vector<long long>> make_mat_impl(vector<long long> v){
    if(v.empty())return vector<vector<long long>>(1,vector<long long>());
    long long n=v.back();
    v.pop_back();
    vector<vector<long long>> ret;
    vector<vector<long long>> tmp=make_mat_impl(v);
    for(auto e:tmp)for(long long i=0;i<n;++i){
        ret.push_back(e);
        ret.back().push_back(i);
    }
    return ret;
}

こう

int main(){
    extrep(v,3,4,5){
        cout<<v[0]<<v[1]<<v[2]<<endl;
    }
}

出力結果

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003
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230
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232
233
234

内部でDFSしてるだけです